καμπύλη

Ο όρος χρησιμοποιείται ως συνώνυμος του όρου γραμμή και όχι ως προσδιοριστικό του είδους της γραμμής που μελετάται. Κ. νοείται το σύνολο των θέσεων ενός σημείου που κινείται μέσα στον χώρο. Ειδικότερα, μια κ. μπορεί να είναι ευθεία είτε όχι, επιπρόσθετα μπορεί να ανήκουν όλα τα σημεία της σε ένα επίπεδο (επίπεδες κ.) είτε όχι (μη επίπεδεςστρεβλές κ.). Από μαθηματική άποψη, η κ. νοείται ως το σύνολο των σημείων του χώρου των οποίων οι συντεταγμένες –ως προς ένα σύστημα αναφοράς– αποτελούν συναρτήσεις μιας παραμέτρου. επίπεδες κ. Αν θεωρηθεί στο επίπεδο ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων xΟy, τότε το σύνολο των σημείων του επιπέδου με συντεταγμένες x = x(t), y = y(t), όπου η παράμετρος t διατρέχει ένα κλειστό διάστημα, έστω [α,β] και όπου οι συναρτήσεις x του t και y του t είναι γνωστές, είναι μια επίπεδη κ. Ειδικά για t ≡ x η κ. παριστάνεται και με μία εξίσωση, όπως η y = f(x), όπου η μεταβλητή x διατρέχει ένα κλειστό διάστημα. Γενικότερα, στο επίπεδο xOy χαρακτηρίζεται ως κ. το σύνολο των σημείων (x,y) του επιπέδου με f(x,y) = 0, όπου f συμβολίζει μια γνωστή συνάρτηση των δύο μεταβλητών x, y. Στην αρχική (παραμετρική) παράσταση της κ., αν οι συναρτήσεις x και y του t είναι συνεχείς, η κ. ονομάζεται συνεχής. Το σημείο (x(α), y(α)) ονομάζεται αρχικό σημείο της κ. και το σημείο (x(β), y(β)) τελικό σημείο. Αν αυτά τα δύο σημεία συμπίπτουν, η κ. ονομάζεται κλειστή. Μια κ.: x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β, συνεχής, ονομάζεται απλή, αν σε κάθε t₁ και t₂ από το διάστημα [α,β] με t₁≠ t₂ αντιστοιχούν σημεία της κ. διαφορετικά μεταξύ τους (με εξαίρεση ενδεχομένως των τιμών α και β του t). Μια απλή κ. μπορεί να είναι κλειστή. Αν μια κ. παριστάνεται από μια εξίσωση f (x,y) = 0, όπου f συμβολίζει ένα πολυώνυμο ως προς x, y, τότε ονομάζεται αλγεβρική, αλλιώς ονομάζεται υπερβατική. O βαθμός του πολυώνυμου f ονομάζεται βαθμός της αντίστοιχης αλγεβρικής κ. Αλγεβρικές κ. είναι η ευθεία, η περιφέρεια του κύκλου, οι κωνικές τομές γενικότερα, η κισσοειδής κ.ά. Η ημιτονοειδής, η συνημιτονοειδής, η αλυσοειδής κ.ά. είναι υπερβατικές κ. Αν μια αλγεβρική κ. είναι μ βαθμού, τότε το πλήθος των σημείων τομής της με μια ευθεία του επιπέδου της είναι μ (όχι αναγκαία όλα διαφορετικά μεταξύ τους και όχι αναγκαία όλα πραγματικά σημεία). Αν για μια αλγεβρική κ. f (x,y) = 0 υπάρχουν δύο πολυώνυμα g, h με f(x,y) = g(x,y)h(x,y), τότε η κ. ονομάζεται αναγώγιμη, αλλιώς ονομάζεται μη αναγώγιμη. Η κ., για παράδειγμα, με εξίσωση x² + y² – 1 = 0 (η περιφέρεια κύκλου με κέντρο το (0,0) και ακτίνα 1) είναι μη αναγώγιμη, ενώ η κ. με εξίσωση x² – y² = 0 είναι αναγώγιμη. Η εξίσωση x² – y² = 0 παριστάνει τις δύο ευθείες με εξισώσεις: x – y = 0, x + y = 0 (τις διχοτόμους των γωνιών των αξόνων). Η εξίσωση x² + y² = 0 είναι αναγώγιμη στο μιγαδικό επίπεδο και παριστάνει τις δύο φανταστικές ευθείες x + iy = 0, x – iy = 0. Ένα σημείο Ρ μιας κ. του επιπέδου μ βαθμού ονομάζεται απλό, αν κάθε ευθεία από το Ρ τέμνει την κ. (εκτός από το Ρ) σε μ – 1 σημεία. Αποδεικνύεται τότε ότι από όλες τις ευθείες που περνούν από το σημείο Ρ, υπάρχει ακριβώς μία τέτοια, ώστε στο Ρ να συμπίπτουν τουλάχιστον δύο από τα σημεία τομής της με την κ. Η ευθεία αυτή ονομάζεται εφαπτομένη της κ. στο σημείο Ρ. Αν, ειδικότερα, στο Ρ συμπίπτουν τρία από τα σημεία τομής της εφαπτομένης με την κ., τότε το σημείο Ρ ονομάζεται σημείο καμπής της κ. Στο σχ. 1 φαίνεται η κ. με το σημείο καμπής της P. Ένα σημείο Ρ μιας αλγεβρικής κ. του επιπέδου ονομάζεται διπλό, εάν κάθε ευθεία από το Ρ τέμνει την κ. με τέτοιον τρόπο ώστε στο Ρ να συμπίπτουν τουλάχιστον δύο από τα σημεία τομής. Αποδεικνύεται ότι τότε υπάρχουν δύο ευθείες του επιπέδου της κ. από το Ρ, που για καθεμία τους συμπίπτουν στο Ρ τρία τουλάχιστον από τα σημεία τομής της με την κ. Οι δύο αυτές ευθείες ονομάζονται πρωτεύουσες εφαπτόμενες της κ. στο (διπλό) σημείο Ρ. Αν αυτές είναι διαφορετικές μεταξύ τους, το σημείο Ρ ονομάζεται κόμβος της κ. Ένας κόμβος μπορεί να εμφανίζει μία από τις τρεις μορφές του σχήματος 2. Στη μία το σημείο Ρ δεν αποτελεί σημείο καμπής για κανέναν από τους δύο κλάδους της κ. που διέρχονται από το Ρ, στην άλλη το Ρ είναι σημείο καμπής για τον έναν από τους δύο και στην τρίτη το Ρ είναι σημείο καμπής και για τους δύο κλάδους της κ. Αν οι πρωτεύουσες εφαπτόμενες στο (διπλό) σημείο Ρ της κ. συμπίπτουν, τότε το σημείο Ρ ονομάζεται σημείο ανάκαμψης της κ. (σχ. 3). Αν οι δύο πρωτεύουσες εφαπτόμενες της κ. στο σημείο της Ρ είναι μιγαδικές, τότε το σημείο Ρ ονομάζεται διπλό μεμονωμένοσημείο της κ. (σχ. 3). Με ανάλογο τρόπο, αναφερόμενοι πάντοτε σε μια αλγεβρική κ. του επιπέδου, ορίζονται οι έννοιες τριπλό, τετραπλό κλπ. σημείο της κ. Αν f(x,y) = 0 είναι μια αλγεβρική κ., Ρ₀ = (x₀,y₀) είναι ένα σημείο της και στο σημείο αυτό υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι της f (που δεν είναι και οι δύο ίσες με το 0), τότε η εξίσωση αποτελεί την εξίσωση της εφαπτομένης της κ. στο σημείο Ρ₀. Ειδικά στην περίπτωση που η εξίσωση της κ. είναι της μορφής y = f(x), η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο της Ρ₀ είναι: Τέλος, αν η κ. είναι της μορφής x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β, η εφαπτομένη της στο σημείο της P₀ = (x(t₀), y(t₀)) παριστάνεται (παραμετρικά) από τις εξισώσεις: x – x₀= λx₀’, y - y₀ = λy₀’, όπου x₀ = x(t₀), y₀ = y(t₀) και x₀’, y₀’ είναι οι τιμές των παραγώγων των συναρτήσεων x, y του t στο σημείο t = t₀. Αν Κ είναι μία κ. του επιπέδου (όχι αναγκαία αλγεβρική) και Ρ είναι ένα σημείο της, τότε ορίζεται (με ορισμένες υποθέσεις) ένας κύκλος του επιπέδου της, που έχει στο Ρ κοινή την εφαπτομένη του με την K και μπορεί να νοηθεί ως η οριακή θέση ενός κύκλου του επιπέδου της Κ. Ο κύκλος αυτός περνά και από ένα άλλο σημείο της K, έστω Q, και έχει στο Ρ κοινή την εφαπτομένη του με την Κ, όταν το σημείο Q κινούμενο πάνω στην K τείνει στο Ρ. Ο κύκλος αυτός ονομάζεται κύκλος καμπυλότητας της K στο σημείο Ρ. Αντίστοιχα, η ακτίνα αυτού του κύκλου ονομάζεται ακτίνα καμπυλότητας της Κ στο σημείο Ρ και το κέντρο του ονομάζεται κέντρο καμπυλότητας της Κ στο σημείο Ρ. Αν ρ είναι η ακτίνα καμπυλότητας της K στο σημείο Ρ, τότε ο αριθμός  ονομάζεται η καμπυλότητα της K στο σημείο Ρ. Ένας ισοδύναμος ορισμός της καμπυλότητας είναι ο εξής: ας ληφθεί η εφαπτομένη της καμπύλης K στο σημείο Ρ και η εφαπτομένη της σε ένα γειτονικό του Ρ σημείο της Q: έστω φ η γωνία αυτών των δύο εφαπτομένων. Ονομάζεται καμπυλότητα της K στο σημείο P η οριακή τιμή του λόγου της φ προς το μήκος του τόξου PQ, όταν το σημείο Q τείνει στο σημείο Ρ (υποτίθεται ότι η Κ είναι τέτοια ώστε σε μία περιοχή του Ρ να υπάρχει μία τέτοια εφαπτομένη που επιτρέπει στην προηγούμενη οριακή τιμή να υφίσταται). στρεβλές κ. Μια κ. στον χώρο είναι το σύνολο των σημείων, όπου σε ένα σύστημα αναφοράς Oxyz οι συντεταγμένες τους x,y,z αποτελούν συναρτήσεις μιας παραμέτρου t, που μεταβάλλεται σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]: x = x(t), y = y(t), z = z(t), α ≤ t ≤ β. Ειδικότερα, αν είναι z(t) = 0 για κάθε t στο [α,β], η κ. είναι επίπεδη. Ανάλογα, όπως και στο επίπεδο, ορίζεται η έννοια της συνεχούς κ. και η έννοια της εφαπτομένης μιας κ. Κ σε ένα της σημείο P. Αν θεωρηθεί ένα επίπεδο από το σημείο P μιας κ. K, που να περιέχει την εφαπτομένη της Κ στο σημείο P και να τέμνει την Κ σε ένα άλλο σημείο Q, τότε (με ορισμένες υποθέσεις) αποδεικνύεται ότι το επίπεδο αυτό έχει μια οριακή θέση, όταν το σημείο P τείνει στο σημείο Q. Αυτό το οριακό επίπεδο ονομάζεται εγγύτατο επίπεδο της K στο σημείο της P. Η κάθετος ως εφαπτομένη της K στο P, που βρίσκεται πάνω στο εγγύτατο επίπεδο, ονομάζεται πρώτη κάθετος της K στο P και η κάθετος στο P πάνω στο εγγύτατο επίπεδο ονομάζεται όρθια κάθετος της K στο σημείο της Ρ. Το τρίεδρο της εφαπτομένης, της πρώτης καθέτου και της όρθιας καθέτου της K στο σημείο Ρ ονομάζεται πρωτεύον τρίεδρο της K στο σημείο της Ρ. Όταν πρόκειται για στρεβλή κ. Κ, ορίζεται η έννοια του κύκλου καμπυλότητας της K σε ένα της σημείο Ρ, όπως και για τις κ. του επιπέδου (ειδική περίπτωση: για την επίπεδη κ. το επίπεδό της είναι το εγγύτατό της επίπεδο και η κάθετός της στο Ρ είναι η πρώτη κάθετος σε αυτό). Επιπρόσθετα, οι έννοιες κύκλος καμπυλότητας, ακτίνα καμπυλότητας και καμπυλότητα σε ένα σημείο Ρ μιας καμπύλης K του χώρου, ορίζονται όπως και στις κ. του επιπέδου. κ. Τζόρντον. Μία συνεχής απλή κλειστή γραμμή ονομάζεται κ. Τζόρντον. Κάθε κ. Τζόρντον χωρίζει το επίπεδο σε δύο τόπους απλά συνεκτικούς, από τους οποίους ο ένας είναι φραγμένος και λέγεται εσωτερικό και ο άλλος μη φραγμένος και λέγεται εξωτερικό. Μια κ. Τζόρντον ονομάζεται θετικά προσανατολισμένη αν, ενόσω διαγράφεται, το εσωτερικό της βρίσκεται αριστερά. κ. αναλυτική. Μία συνεχής κ. με παραμετρικές εξισώσεις x = φ(t), y = f(t), ξ = σ(t), της οποίας οι συναρτήσεις φ(t), f(t) και σ(t) μπορούν να αναπτυχθούν σε σειρά κατά τις ακέραιες δυνάμεις t – t₀, στην περιοχή κάθε σημείου t₀ του διαστήματος που ορίζει την κ. κ. φωτός. Η γραφική παράσταση της λαμπρότητας ενός μεταβλητού αστέρα ή άλλου μεταβλητού σώματος ως συνάρτησης του χρόνου. Η λαμπρότητα εκφράζεται συνήθως με τη βοήθεια του φαινόμενου ή απόλυτου μεγέθους. Οι διάφοροι τύποι μεταβλητών αστέρων μπορούν να διαχωριστούν από το σχήμα της κ. τους (ως περίοδος του μεταβλητού αστέρα θεωρείται μία πλήρης κύμανση της λαμπρότητάς του). Η κ. φωτός ενός εκλειπτικού διπλού αστέρα έχει δύο ελάχιστα: ένα πιο αβαθές (δευτερογενές ελάχιστο) και ένα βαθύτερο (πρωτογενές ελάχιστο), που εμφανίζεται όταν παρατηρείται, οπωσδήποτε σπάνια, έκλειψη του λαμπρότερου αστέρα.

* * *

η (AM καμπύλη)

βλ. καμπύλος.